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Lesetipp: Wie halte ich einen Seminarvortrag?

Arbeitsgebiete

Struktur- und Darstellungstheorie unendlichdimensionaler Lie-Gruppen und Algebren

Herausgebertätigkeit

Managing Editor: Journal of Lie Theory
Editor: Forum Mathematicum

Kurzbeschreibung der Arbeitsgebiete

Die einfachsten Beispiele von Lie-Gruppen sind Gruppen von Matrizen, die man oft schon in der linearen Algebra kennenlernt. Im Zentrum des Interesses stehen derzeit unendlichdimensionale Verallgemeinerungen solcher Gruppen. Das sind Gruppen, die die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit tragen, so dass die Gruppenoperationen (Multiplikation und Inversion) glatt sind. Die Modellräume sind hier im allgemeinen lokalkonvexe Räume, die nicht notwendigerweise Banachräume sind. Eine Approximation erster Ordnung einer Lie-Gruppe ist ihre Lie-Algebra. Von zentraler Bedeutung in der Lieschen Theorie ist es nun, einen guten Übersetzungsmechanismus zwischen Lie-Algebren und Lie-Gruppen zu entwickeln. Dieser Prozess ist analog zu der Modellierung eines zeitlich veränderlichen Vorgans durch eine Differentialgleichung (Approximation erster Ordnung) und der anschließenden Rekonstruktion des globalen Verhaltens ihrer Lösungen. Ein sehr zentraler Punkt der unendlichdimensionalen Lie-Theorie ist daher das Integrabilitätsproblem: Welche Lie-Algebra gehört zu einer globalen Gruppe? Andere wichtige Probleme der Strukturtheorie betreffen die globale Topologie der Gruppen bzw. die Klassifikation ihrer Erweiterungen.

Bezüge zu anderen Gebieten

Die Darstellungstheorie der Lie-Gruppen liefert einen allgemeinen Rahmen für viele Bereiche der Analysis wie z.B. Spektraltheorie von Operatoren und Fouriertransformation. In der Zahlentheorie spielt insbesondere die Darstellungstheorie der Gruppe Sl(2,R) eine wichtige Rolle. In der Geometrie sind seit Felix Kleins ``Erlanger Programm'' die zugehörigen Symmetriegruppen (meist Lie-Gruppen) der Hauptgegenstand des Interesses. Indem man einer Lie-Algebra ihre Weyl-Gruppe zuordnet, erhält man eine fruchtbare Querverbindung zur Theorie der Spiegelungsgruppen. Die Konstruktionen der endlichen einfachen Gruppen vom Lie-Typ, die man aus einfachen Lie-Algebren baut, ist ein Kernstück ihrer Klassifikation. In der Quantenmechanik modelliert man Symmetrien durch unitäre Darstellungen von Lie-Gruppen auf Hilberträumen. Aus den gleichen Gründen sind Hamiltonsche Wirkungen von Lie-Gruppen auf symplektischen Mannigfaltigkeiten ein wichtiges Werkzeug in der klassischen Mechanik, und unendlichdimensionale Lie-Algebren spielen in der Feldtheorie eine ähnliche Rolle.


Diplomarbeiten

Voraussetzung für die Vergabe einer Diplomarbeit ist die Beherrschung der Inhalte einer konsistenten Auswahl von Vorlesungen zu den folgenden Themen:

  • Lie-Gruppen
  • Lie-Algebren
  • Mannigfaltigkeiten
  • Transformationsgruppen
  • Differentialgeometrie
  • Funktionalanalysis
  • Darstellungstheorie

Bewerber(innen) um eine Diplomarbeit sollten außerdem an einem Seminar bei mir teilgenommen haben. Die Themen der Diplomarbeiten haben in der Regel einen engen Bezug zu den Forschungsaktivitäten der Arbeitsgruppe. Daher sollten potentielle Interessenten möglichst frühzeitig nach dem Vordiplom mit mir Kontakt aufnehmen um eine konsistente, eigenen Vorlieben entsprechende, Auswahl von Vorlesungen bzw. Seminaren zu besprechen. Das Leseseminar der Arbeitsgruppe bietet insbesondere die Möglichkeit, sich zusammen mit anderen Mitgliedern der Arbeitsgruppe neuer Mathematik zu nähern. Bei inhaltlichen Fragen zu den oben genannten Gebieten gebe ich gerne jederzeit nach bestem Wissen Auskunft.

Adresse

Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt

Schloßgartenstr. 7
64289 Darmstadt

 

Sekretariat

Ute Fahrholz
Gerlinde Gehring
Zimmer: S2|15 K414

 +49 6151 / 16-2089

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