Visualisierung in der Analysis

Auf dieser Seite befinden sich Veranschaulichungen einiger mathematischer Sachverhalte. Die Inhalte lehnen sich an die Vorlesung Analysis 2 an und wurden mit Wolfram Mathematica 9 erstellt.

Animationen betrachten

  • Ist der Wolfram CDF Player und das dazugehörige Web-PlugIn installiert, dann können die Animationen unter dem jeweiligen CDF-Link betrachtet werden. Auf den Rechnern des Fachbereichs ist dies üblicherweise leider noch nicht der Fall.
  • Ansonsten wird die WolframMathematica-Software benötigt. Dazu muss zunächst die .nb-Datei (Notebook-Datei) heruntergeladen und mit WolframMathematica geöffnet werden. Anschließend muss der Mathematica-Quelltext erneut kompiliert werden (per Shift+Enter).

Einheitsbälle der p-Normen

Hier sehen wir die Einheitsbälle bezüglich verschiedener p-Normen. Das sind diejenigen Punkte des R2, deren p-Norm kleiner oder gleich 1 ist. In jeder Norm ist der Einheitsball eine konvexe Menge. (HTML, CDF, Quelltext)

Die Manhattan-Metrik

Die so genannte Manhattan-Metrik dMan ist auf einem Gitter definiert und misst die Länge des kürzesten Weges zwischen zwei Punkten, wobei nur Wege auf dem Gitter zugelassen sind. Dadurch wird simuliert, dass man sich in Großstädten nur entlang der Straßen bewegen kann und nicht etwa quer durch einen Wohnblock fährt. Da der New Yorker Stadtteil Manhattan in solche Wohnblöcke eingeteilt ist, trägt die Metrik diesen Namen. Wir sehen hier Bälle mit verschiedenen Radien um verschiedene Punkte. (HTML, CDF, Quelltext)

Die Französische Eisenbahnmetrik

Die französische Eisenbahnmetrik modelliert die Eigenart des französischen Eisenbahnnetzes, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Bahnhöfen stets über Paris führt. Lediglich wenn die Bahnhöfe auf der gleichen Linie nach Paris liegen, muss kein Umweg über Paris gemacht werden. Wir sehen hier Bälle verschiedener Radien um einen Bahnhof, wobei Paris dem Ursprung entspricht. (HTML, CDF, Quelltext)

Offene und abgeschlossene Mengen

Wir sehen hier die offenen und abgeschlossenen Einheitsbälle der verschiedenen p-Normen. Eine Menge heißt offen, wenn um jeden Punkt der Menge auch noch ein Ball mit kleinem Radius in der Menge liegt. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. (Zum Vergößern anklicken)

Die komplexwertige Exponentialfunktion

Hier sehen wir die Abbildungen fc(x) = exp(xc)  für verschiedene komplexe Werte von c. Diese Abbildung ist auf den positiven Zahlen definiert. In Abhängigkeit des Vorzeichens von Real- und Imaginärteil von z ergibt sich ein anderes Bild. Der Realteil bestimmt, ob die Kurve nach außen oder nach innen verläuft. Der Imaginärteil legt die Orientierung der Kurve fest. (HTML, CDF, Quelltext)

Funktionen mehrerer Veränderlicher

Wird jedem Punkt des Rn eine Zahl zugeordnet, dann kann man diese Zahl beispielsweise als Höhe oder als Temperatur auffassen. Man kann dann den Graphen der Funktion als Teilmenge des Rn+1 betrachten, um sich so die Funktion zu veranschaulichen. Um Extrema solcher Funktionen zu finden, kann man auch Niveaumengen, also Mengen der Form f-1(p), berechnen. Versteht man den Funktionswert hingegen als Temperatur, dann lässt sich eine Funktion auch als Wärmekarte interpretieren. (HTML, CDF, Quelltext)

Funktionen auf Sphären

Funktionen, die nicht auf dem ganzen Rn sondern nur auf einer Fläche definiert sind, lassen sich ähnlich einem Funktionsgraphen als Höhen oder Temperaturen auffassen. So kann man beispielsweise durch Einfärben der S2 eine Temperaturkarte der Erde darstellen. Hier sehen wir die p-Normen als stetige Funktionen auf der S1 und der S2. (HTML, CDF, Quelltext)

Vektorfelder

Vektorfelder sind Abbildungen von Rn nach Rn. In höherer Dimension lassen sich solche Abbildungen nicht mehr als Graphen schreiben. Man kann sie sich aber folgendermaßen vorstellen: An jeden Punkt wird ein Vektor (sprich: ein Pfeil) angehängt, der sein repräsentiert. Wir sehen hier Beispiele für n = 2. (HTML, CDF, Quelltext)

Komplexwertige Funktionen

Eine besondere Klasse von Funktionen sind solche, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden. Versteht man die komplexen Zahlen als R2, dann kann man solche Funktionen als Vektorfelder auffassen. Die besondere Struktur des komplexen Zahlenkörpers erlauben eine zusätzliche Betrachtungsweise. Zur Veranschaulichung gebe man sich ein festes Gebiet in Form eines Gitters innerhalb der komplexen Zahlen vor (hier im Beispiel {x+iy | 0<x<1, 0<y<2}) und untersucht das Bild dieser Menge. Man kann dann beobachten, wie sich die Quadrate des Gitters verzerren und wie sich die lineare Approximation (sprich: die Ableitung) verhält. (HTML1, CDF1, Quelltext1, HTML2, CDF2, Quelltext2)

Partiell differenzierbare Funktionen

Die Funktion F(x,y) = 2x^2y/(x^2+y^2) mit F(0,0) = 0 ist in jedem Punkt partiell differenzierbar. Im Ursprung sind die partiellen Ableitungen wie auch die Richtungsableitungen in die beiden Diagonalen linear, im Bild ergeben sich Geraden. Dennoch ist die Funktion F im Ursprung nicht total differenzierbar. (HTML, CDF, Quelltext)

Differenzierbarkeit in mehreren Variablen

Hier sehen wir die Graphen dreier Funktionen. Die Normfunktion ist im Ursprung natürlich stetig, aber nicht partiell differenzierbar. Die Abbildung Sqrt(|xy|) ist im Ursprung partiell differenzierbar, die partiellen Ableitungen verschwinden sogar. Die Abbildung x2+y2 ist total differenzierbar, weswegen eine Tangentialebene an den Funktionsgraphen existiert. (HTML, CDF, Quelltext)

Skalarprodukt als Funktion

Hier sehen wir das Bild der Funktionen fa(x) = <a,x> für verschiedene Werte von a aus R2. Solche Funktionen treten in der ersten Ordnung des mehrdimensionalen Taylor-Polynoms auf. Der Graph ist eine Ebene in R3, die Steigung wird durch a festgelegt. Die Höhenlinien stehen jeweils senkrecht auf a. (HTML, CDF, Quelltext)

Der Gradient

Der Gradient zeigt in jedem Punkt in die Richtung des stärksten Anstiegs. Daher steht der Gradient immer senkrecht auf den Höhenlinien. Das bedeutet nicht zwingend, dass der Gradient in jedem Punkt auf das Maximum zeigt. Hier sehen wir eine einfache Funktion mehrerer Veränderlicher und den Gradienten in verschiedenen Punkten. (HTML, CDF, Quelltext)

Taylor-Polynom in mehreren Variablen

Mithilfe des Satzes von Taylor lassen sich genügend oft differenzierbare Funktionen durch Polynome annähern. Je höher der Grad des Polynoms, desto besser ist diese Annäherung. Hängt die Funktion von mehreren Variablen ab, so gilt das auch für das approximierende Polynom. (GIF-Animation, Quelltext)

Extrema von Funktionen

Wir sehen hier Graphen verschiedener Funktionen, deren Gradient im Ursprung verschwindet. Anhand der Hesse-Matrix lässt sich erkennen, ob und welche Art von Extremum vorliegt. Bei x2-y2 ist sie indefinit, bei x2 ist die Hesse-Matrix semi-definit und bei x2+y2 ist sie positiv definit. (Anklicken zum Vergrößern)

Banach'scher Fixpunktsatz

Der Fixpunktsatz von Banach ist ein zentraler Satz der Analysis. Er besagt, dass eine Kontraktion auf einem nichtleeren und vollständigen metrischen Raum genau einen Fixpunkt besitzt. Der Beweis ist konstruktiv: Man beginne mit einem beliebigen Punkt und wende die Funktion wiederholt an. Dadurch entsteht eine Folge von Punkten. Da diese Funktion nach Voraussetzung eine Kontraktion ist, konvergiert diese Folge, sie nähert sich in jedem Schritt an den Grenzpunkt an. Dieser Grenzpunkt ist der gesucht Fixpunkt. Die hier vorgestellte Animation zeigt die oben beschriebene Punktfolge für eine affin lineare Kontraktion. (HTML, CDF, Quelltext)

Extrema unter Nebenbedingungen

Typische Nebenbedingungen einer Funktion sind durch Nullstellen differenzierbarer Funktionen gegeben. So interessiert man sich beispielsweise für Extrema von Funktionen nicht etwa auf ganz R2, sondern nur auf einem Kreis oder einer anderen Teilmenge. In solchen Fällen spricht man von Extrema unter Nebenbedingungen. Wir sehen hier, dass dann der Gradient der Nebenbedingung und der Gradient der Funktion selbst linear abhängig sind. (HTML, CDF, Quelltext)

Satz über Implizite Funktionen

Die Nullstellen des Polynoms f(t) = t2+pt+q kann man natürlich problemlos in Abhängigkeit von p und q ausrechnen. Hier betrachten wir aber die Nullstellenmenge der Fuktion F(p,q,t) = t2+pt+q, um den Satz über Implizite Funktionen besser zu verstehen. Auf der Menge q = p2/4 liegen doppelte Nullstellen für t vor. Das äußert sich darin, dass auf dieser Menge t nicht implizit durch p und q bestimmt ist. Für q < p2/4 liegen zwei verschiedene Nullstellen für t vor. Das sehen wir daran, dass wir t lokal als Graphen über p und q verstehen können. (HTML, CDF, Quelltext)

Jordanrand

Wir sehen hier, warum der Rand des Einheitskreises eine Nullmenge in R2 ist. Der Kreisring lässt sich mit Quadraten immer kleiner werdender Kantenlänge überdecken. Zwar werden mit kleinerer Kantenlänge mehr Quadrate benötigt, die Gesamtfläche der Quadrate konvergiert dennoch gegen 0. (HTML, CDF, Quelltext)

Untermannigfaltigkeiten

Die Nullstellenmenge der Funktionenschar Fb(x,y,z) = cos(x) + cos(y) + cos(z) - b definiert für fast alle b eine Untermannigfaltigkeit des R3. Lediglich für b = 1 und b = -1 entstehen kritische Punkte. (GIF-Animation)

Die Rotation von Vektorfeldern

In dieser Bildserie soll verdeutlicht werden, inwieweit die Abbildung rot tatsächlich eine Rotation eines Vektorfelds beschreibt. Dazu betrachten wir das Vektorfeld F(x,y,z) = (0,-x2,z). Dieses kann man sich als Windströmung vorstellen. In jedem Punkt (x,y,z) beschreibt F(x,y,z) die Windrichtung und durch seine Norm auch die Windstärke. Entsprechend ist der Wind dann stärker, wenn wir einen Punkt betrachten, der in x-Richtung weiter vom Ursprung entfernt ist. Die Bilder zeigen zunächst das Vektorfeld auf ganz R3, dann nur auf der Höhe z = 0 und schließlich im dritten Bild sehen wir ein Fahrzeug, dass sich in x-Richtung vom Ursprung entfernt. Der Wind weht vom Fahrer aus gesehen von links. Allerdings wirkt mehr Wind an den Vorderrädern des Fahrzeugs, weswegen das Fahrzeug eine Rechtskurve fährt (sofern der Fahrer nicht gegenlenkt). Betrachten wir dieses Szenario in R3, sehen wir also, dass das Fahrzeug um die z-Achse gedreht wird. Und tatsächlich ist rot F(x,y,z) = (0,0,-2x).

Cayley-Transformation

Die Cayley-Transformation bildet die obere komplexe Halbebene auf die komplexe Einheitskreisscheibe bijektiv und holomorph ab. Insbesondere sehen wir hier am Gitternetz-Plot, dass die rechten Winkel des Gitternetzes im Bild erhalten bleiben. (HTML, CDF)

Zusammenhang und Wegzusammenhang

Der Graph von (cos(t),sin(t))*t/(t+1) ist eine Spirale, die von innen beliebig nah am Einheitskreis liegt, ihn aber nicht schneidet. Die Spirale zusammen mit dem Einheitskreis bildet daher eine zusammenhängende, aber nicht weg-zusammenhängende Menge. In der Animation sehen wir, wie sich der Funktionsgraph an den Einheitskreis annähert. (HTML, CDF)

Uneindeutigkeit von Anfangswertproblemen

Das Anfangswertproblem y' = |y|1/2, y(0) = 0 besitzt unendlich viele Lösungen. Die Normalparabel oder die Nullfunktion sind Lösungen. Wir sehen hier eine Schar von Lösungen. (HTML, CDF)

Abhängigkeit von Anfangswerten

Das Anfangswertproblem y' = cos(t)*exp(y), y(0) = a besizt für reelle Zahlen eine eindeutige Lösung. Natürlich die Lösung aber auch das Existenzintervall hängen vom Anfangswert a ab. Für negative a existiert eine Lösung auf ganz IR. Hier sehen wir die stetige Abhängigkeit von Lösung und Anfangswert. (HTML, CDF)

Autonome gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen der Form y' = f(y), deren rechte Seite also nicht von der Zeit abhängen, heißen autonom. Anhand des Graphen von f lassen sich bereits Aussagen über die Lösungen treffen. Ein einfaches Beispiel ist die Gleichung y' = 4(1-y). (HTML, CDF)

Rotation und Potenziale

Für viele topologische Fragestellungen ist relevant, ob ein Vektorfeld X ein Potenzial f besitzt, also eine differenzierbare Funktion f mit grad f = X. Beispielsweise ist eine Menge genau dann einfach zusammenhängend, wenn jedes Vektorfeld ein globales Potenzial besitzt. Wir sehen hier das Rotationsvektorfeld X(x,y) = (y,-x)/(x2+y2) und das lokale aber nicht globale Potenzial arg(z). (HTML, CDF)

Integralformel von Cauchy

Die Integralformel von Cauchy kann als gewichtete Mittelwertsformel verstanden werden. Die Funktionswerte von f werden entlang einer Kurve integriert und punktweise mit der Gewichtsfunktion der Form 1/r multipliziert. Hier sehen wir die Formel als reellwertiges Integral interpretiert. (HTML, CDF)

Rotation als physikalische Größe

Die Rotation eines Vektorfelds lässt sich physikalisch erklären. Man stelle sich ein Vektorfeld als Strömung einer Flüssigkeit vor. Setzt man nun eine Boje oder ein Stück Treibholz in die Flüssigkeit, bewegt sich das Objekt natürlich mit der Strömung mit. Wenn sich das Objekt während dieser Bewegung zusätzlich noch dreht, dann besitzt das Vektorfeld Rotation.

Komplexwertige Funktionen z -> f(z) lassen sich als zweidimensionale Vektorfelder X = (Re f, - Im f) und Y = (Im f, Re f) interpretieren, die genau dann rotationsfrei sind, wenn die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen für f erfüllt sind. Entsprechend dreht sich das treibende Objekt genau dann, wenn die Funktion f holomorph ist. (HTML, CDF)

Komplexer Logarithmus

Auf jedem einfach zusammenhängendem Gebiet in den komplexen Zahlen lässt sich die Exponential-Funktion umkehren. Es existiert also auf jedem dieser Gebiete ein komplexer Logarithmus. Verzichtet man auf die Voraussetzung, dass das Gebiet einfach zusammenhängend ist, dann ist die Umkehrung nicht mehr eindeutig, da das Argument in solchen Gebieten keine stetige Funktion ist. Wir sehen hier den komplexen Logarithmus auf einer einfach zusammenhängenden Spirale und auf einem Kreisring. (HTML, CDF)

Windungszahl holomorpher Funktionen

Bildet man Kreisscheiben und -ringe mit komplexen Polynomen ab, kann man beobachten, wie sich das Bild um einzelne Punkte wickelt. Diese Punkte sind genau die Nullstellen der Ableitung des Polynoms. Die Wie oft sich das Bild um die entsprechenden Bildpunkte wickelt, hängt vom Grad der entsprechenden Nullstelle ab. Diese Zahl bezeichnet man als die Windungszahl. (HTML, CDF)

Rationale Zahlen als Nullmenge von IR

Die rationalen Zahlen sind eine Nullmenge in den reellen Zahlen bezüglich des Lebesgue-Maßes. Um das einzusehen, benutzt man folgende Überdeckung der rationalen Zahlen: Man nehme eine beliebige Abzählung der rationalen Zahlen und eine beliebige Zahl ɛ>0. Die erste rationale Zahl wird mit einem Intervall der Breite ɛ/2 überdeckt. Die zweite rationale Zahl mit einem Intervall der Breite ɛ/4. Schließlich wird n-te rationale Zahl mit einem Intervall der Breite ɛ/2n überdeckt. Die Summe der Intervallbreiten ist durch ɛ beschränkt. Für ɛ->0 sehen wir also, dass es sich bei den rationalen Zahlen - sogar bei jeder abzählbaren Menge - um eine Lebesgue-Nullmenge handelt. (HTML, CDF)

Jerome Alex

E-Mail: jalex [at] mathematik...
Büro: S2-15 324
Telefon: 06151 - 16 22495
Sprechstunde: Dienstags, 15:30 Uhr

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