Die Vorträge im Detail

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Diagonalen, die den Rahmen sprengen

(AG Logik, Prof. Otto)

Situationen mit selbstbezüglicher Zirkuläritat haftet oft etwas Paradoxes an, und man tut sie als "unmöglich" ab. Ein bekanntes klassisches Beispiel wird Epimenides (7.Jh.v.Chr.) zugeschrieben. Der Kern seines Lügner-Paradoxons lässt sich auf den Status der Aussage "diese Aussage ist nicht wahr" reduzieren. Selbstbezüglichkeit und eine Negation wirken hier ähnlich paradox zusammen wie die verdrillte Verklebung der Winkelschenkel in der hier abgebildeten (scheinbaren) Perspektivskizze.

In der Mathematik kann man mit Ideen, die eine ähnliche Selbstbezüglichkeit haben, oft interessante Einsichten erzielen — insbesondere Objekte finden, die einen gegebenen Bezugsrahmen sprengen und darüber hinausweisen. Man spricht in diesem Zusammenhang von Diagonalisierungsargumenten. Der Vortrag begleitet auf einem Streifzug von Epimenides über Cantor und Russell (Mengenlehre), Turing (Berechenbarkeit) und Gödel (mathematische Logik).

Zielgruppe: fortgeschrittene Mittelstufe/Oberstufe

Vorkenntnisse: Bekanntschaft mit elementaren Konzepten wie Mengen, Aussagen, Berechnungsverfahren ist hilfreich, aber nicht notwendig

Zeitrahmen: 60min, 90min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Das Newton-Verfahren: Wie entsteht schöne Mathematik?

(AG Optimierung, Prof. Schwartz)

"Schöne Lösung!" Mathematiker_innen wissen schöne und elegante Lösungen zu schätzen. Ein Beispiel hierfür ist das Newton-Verfahren zur Berechnung von Nullstellen: eine eingängige Idee und eine simple Formel. 

"Aber wie hätte ich darauf kommen sollen?" Versucht man sich selbst an der Lösung einer neuen Problemstellung, so ist die eigene Lösung oft alles andere als elegant. Um zu illustrieren, dass es selbst bekannten Persönlichkeiten wie Isaac Newton nicht anders geht, werfen wir einen Blick zurück. Wie sah Newton's erste (definitiv nicht elegante!) Version des heute nach ihm benannten Verfahrens aus? Und was musste alles geschehen, bis es die uns heute bekannte Form hatte?

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: Ableitung, Tangente, Polynome

Zeitrahmen: 45 - 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Faszination Primzahlen!

(AG Algebra, Prof. v. Pippich)

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben und jede Primzahl ist nur durch sich selbst und die Zahl Eins teilbar. Die Primzahlen bilden also sozusagen die Atome der multiplikativen Zahlenwelt und es stellen sich folgende Fragen: Wie viele Primzahlen gibt es? Gibt es eine Formel für Primzahlen? In welchen Abständen treten Primzahlen unter den natürlichen Zahlen auf? 

In unserem Vortrag werden wir diese und weitere, zum Teil noch ungelöste Fragen diskutieren und einen Einblick geben, warum Primzahlen auch heute zu den geheimnisvollsten und faszinierendsten Objekten der Mathematik zählen.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: elementare Arithmetik; Exponentialfunktion und Logarithmus

Zeitrahmen: 45min, 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Lauschen zwecklos!

(AG Algebra, Prof. v. Pippich)

Das Verschlüsseln von Daten spielt eine wichtige Rolle in unserem Alltag, z.B. beim Online-Banking oder beim Einsatz von Chipkarten. Die Verschlüsselung muss dabei so clever sein, dass ein Abhören durch Unbefugte wertlos ist: Lauschen zwecklos!

In unserem Vortrag werden wir das sogenannte RSA-Verfahren kennenlernen, ein Verschlüsselungsverfahren, das im Jahr 1977 von Rivest, Shamir und Adleman entwickelt wurde. Die mathematische Grundlage dieses Verfahrens ist ein schon über 350 Jahre altes Resultat aus der Zahlentheorie.

Auch besondere geometrische Objekte, sogenannte elliptische Kurven (siehe Bild), können zum Verschlüsseln benutzt werden. Hierauf kann im Vortrag nach Absprache und Interesse auch im Detail eingegangen werden.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: elementare Arithmetik, Funktionen; für das Format Mathematik zum Mitmachen nach Absprache modulare Arithmetik

Zeitrahmen: 45min, 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig), Mathematik zum Mitmachen (ca. 30)

Mathematik, die beleidigte Königin der Wissenschaften

(AG Algebra, Prof. Kümmerer) 

Mathematik war mehr als zweitausend Jahre die unbestrittene Königin der Wissenschaften. Und heute? "Keiner liebt mich" hört man sie sagen. Der Schulunterricht scheint oft folgenlos zu bleiben, Mathematik zeigt sich im Alltag kaum. Eine Bestandsaufnahme ihrer Rolle im allgemeinen Bewusstsein leitet den Vortrag ein.

Mathematik weckt Gefühle wie kaum eine zweite Wissenschaft: Von Angst über Bewunderung bis zu Begeisterung, und auch die Werbung spielt mit diesen Gefühlen. Sie stehen im Mittelpunkt des zweiten Teils des Vortrages.

Mathematik durchdringt unseren Alltag, mehr als je zuvor, man muss nur hinschauen. Einige Beispiele machen das deutlich. Unsere Zukunft wird auch davon abhängen, dass sich breite Teile der Gesellschaft wieder mit der Mathematik aussöhnen. Wege zur Versöhnung beschließen den Vortrag.

ZielgruppeMittelstufe/Oberstufe

Vorausgesetzte VorkenntnisseKeine

Zeitrahmen: 60min 

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stirbt ein Familienname aus?

(AG Stochastik, Prof. Aurzada)

Sir Francis Galton beschäftigte im Jahr 1873 die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Familienname ausstirbt. Diese Frage wurde anschließend von Reverend Henry William Watson untersucht. Nach diesen beiden Wissenschaftlern ist das erste Modell für Populationsentwicklungen benannt, das den Zufall miteinbezieht, der Galton-Watson-Verzweigungsprozess. Im Vortrag wird dieses Modell vorgestellt und die Aussterbewahrscheinlichkeit im Modell bestimmt.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: Ableitung; Funktionen, insbesondere Polynome; Verkettung von Funktionen; idealerweise: Grundkenntnisse in Stochastik

Zeitrahmen: 45 - 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Plätzchenbacken mit Gauß

(AG Numerik, Dr. Domschke)

Beim Auspacken der Zutaten für mehrere Sorten Plätzchen ging ein Ei zu Bruch. Wieviel kann jetzt von welchem Rezept gebacken werden, damit keine Zutaten übrig bleiben? Dieses Problem können wir als lineares Gleichungssystem schreiben, dessen Lösung uns die Antwort liefert.

Im alltäglichen Leben begegnen uns oft lineare Gleichungssysteme. Kleine Systeme (mit zwei oder drei Unbekannten) lassen sich gut von Hand lösen. Mit zunehmender Anzahl der Unbekannten/Gleichungen wird die Lösung per Hand allerdings sehr aufwändig.

Wir lernen das Gauß-Verfahren und seine algorithmische Umsetzung kennen, gehen auf Schwierigkeiten und Herausforderungen ein und lernen alternative Methoden zur näherungsweisen Lösung von linearen Gleichungssystemen kennen.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: lineare Gleichungssysteme

Zeitrahmen: 45 - 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Subdivisionsalgorithmen - ein Oscar für die Mathematik

(AG Geometrie, Prof. Reif)

Subdivisionsalgorithmen sind mathematische Verfahren, mit deren Hilfe sich glatte Kurven und Flächen im Computer auf einfache Weise berechnen und darstellen lassen. Sie werden heute vor allem bei der Herstellung computer-animierter Filme eingesetzt, ihre mathematische Untersuchung stellt aber bis heute eine Herausforderung dar. In diesem Vortrag wird die Geschichte dieser faszinierenden Algorithmen erzählt. Sie beginnt mit einem Hammer in Lausanne und endet mit einem Oscar in Hollywood.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: keine speziellen Vorkenntnisse

Zeitrahmen: 45 - 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Unendlich: Unglaublich . unheimlich . unmöglich

(AG Algebra, Prof. Kümmerer)

Nachdenken über das Unendliche - das Undenkbare Denken - ist ein großes Abenteuer. Schon im Alltag begegnet uns das Unendliche: Es gibt unendlich viele Zahlen, zwischen zwei Spiegeln können wir uns unendlich oft sehen und parallele Schienen scheinen sich im Unendlichen zu schneiden. Ausgehend von diesen Erfahrungen verfolgen wir die Auseinandersetzung mit dem Unendlichen aus kulturgeschichtlicher und mathematischer Sicht.

Unglaubliches hält das Unendliche für uns bereit: Ein Teil kann so groß sein wie das Ganze, und dennoch ist es mit einer Unendlichkeit nicht getan. Unheimlich war das Unendliche schon den Griechen. Wie sie damit umgingen, beeinflusst seither die Mathematik. Unmöglich scheint das Unendliche, das zeigten schon die Paradoxien des griechischen Philosophen Zenon. Sie sind bis heute eine spannende Herausforderung für die Mathematik, der Wissenschaft vom Unendlichen.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: Schulstoff bis etwa Klasse 11. Klasse

Zeitrahmen: 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Unendlichkeit im Großen und im Kleinen

(AG Logik, Prof. Otto)

Die Idee unendlich großer und unendlich kleiner Größen fasziniert seit Jahrtausenden, nicht nur in mathematischer Hinsicht. Eine mathematisch fundierte Theorie unendlicher Größen wurde von Georg Cantor (1845--1918; besuchte in Darmstadt die Schule) gegeben; die von ihm begründete axiomatische Mengenlehre analysiert unterschiedliche Grade von Unendlichkeit im Größenvergleich von Mengen. Auch kombinatorische Fragen im Unendlichen bieten eine interssante Herausforderung für das Vorstellung- und Abstraktionsvermögen, wie zum Beispiel in diesem Gedankenexperiment:

Teilnehmer 1,2,3,... an einem Quiz bekommen je eine eigene ja/nein-Frage; sie kennen vorab nicht die Fragen, aber sie wissen, dass jeder die richtige Antwort auf die Fragen aller anderen kennen wird, nicht aber auf die eigene. Könnten sich die Teilnehmer vorab so absprechen, dass insgesamt nur endlich viele falsche Antworten gegeben werden?

Mit unendlich kleinen Größen - "Infinitesimalien" - arbeiteten Isaac Newton (1642--1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) in ihrer Entwicklung der Analysis. Die Verwendung von Infinitesimalien wurde erst durch Abraham Robinson (1918--1974) in der sogenannten Nichtstandardanalysis mit logischen Methoden voll gerechtfertigt. Hier werfen wir einen abstrakten Blick ins unendlich Kleine - eine Perspektive, die die üblichen Grenzprozesse der Differential- und Integralrechnung überraschend einfach aussehen lassen kann.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorkenntnisse: Bekanntschaft mit elementaren Begriffen wie Mengen, Funktionen und einfachen Konzepten der Algebra und Analysis

Zeitrahmen/Format: Schülerworkshop (mehrere Sitzungen) oder Vortrag (90min)

Verknotete Mathematik: Why Knot?

(AG Algebra, Prof. Kümmerer)

Warum beschäftigen sich Mathematikerinnen und Mathematiker mit Knoten? Neue Knoten für Seeleute oder für neue Strickmuster?

Der Weg der Knoten in die Mathematik ist verschlungener. Navigationsprobleme der weltreisenden Seefahrer brachten den großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß zu den Knoten. Ein paar Jahrzehnte später sollten Knoten das System der chemischen Elemente ordnen. Und wir alle verdanken unser Leben der Tatsache, dass seit vielen Millionen Jahren jede Zelle bei ihrer Teilung ein Entknotungsproblem löst, dem die Mathematik erst in den letzten dreißig Jahren auf die Spur kommt -- und dies als einen ihrer größten Fortschritte im 20. Jahrhundert ansieht.

Wir verfolgen den Weg der Knoten durch die Mathematik und erleben, dass Mathematik mehr ist als Rechnen und Jonglieren mit Zahlen, dass mathematische Lösungen eines Problems oft ganz unerwartet neue Anwendungen finden und nicht zuletzt, dass man auch mit Schulkenntnissen an modernen Entwicklungen der Mathematik teilhaben und vielleicht sich sogar für sie begeistern kann.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorausgesetzte Vorkenntnisse: Rationale Funktionen

Zeitrahmen: 60min

Format (max. Teilnehmerzahl): Vortrag (beliebig)

Wahrheit, Schließen, Information und Wissen - mathematisches Modellieren in der Logik

(AG Logik, Prof. Otto)

Die Aussagenlogik oder boolesche Logik (nach George Boole, 1815--1864) erlaubt es, Information über Situationen, die anhand von Ja/Nein-Fragen (d.h. bit-weise) beschrieben sind, mit mathematischen Methoden logisch und algebraisch zu bearbeiten. Schon auf diesem Niveau gibt es interessante Methoden und überraschende Gesetzmäßigkeiten zu entdecken.

Beim Folgerungsproblem zum Bespiel geht es um die Frage, ob eine Reihe von Bedingungen eine bestimmte logische Konsequenz allgemein nach sich zieht. Vgl. das Faksimile einer Denksportaufgabe von Charles Dodgson, alias Lewis Carroll, 1832-1898).

Wenn mehrere potentielle Beschreibungen und unterschiedliche Verfügbarkeit von Information eine Rolle spielen, wird die Modellierung von wechselseitigen Abhängigkeiten eine spannende Aufgabe, die im Rahmen der sogenannten Modallogik behandelt werden kann. Hier geht es u.a. um das Argumentieren mit Aussagen über das Wissen verschiedener Personen, wie es oft in strategischen Szenarien vorkommt: "Wenn A weiß, dass B nicht weiß, welche Karte A gezogen hat, dann..."

In Kurzvorlesungen und Gruppenübungen stehen die mathematische Modellierung, die logische Systematik und die Exploration anhand von Beispielaufgaben im Vordergrund.

Zielgruppe: Oberstufe

Vorkenntnisse: Bekanntschaft mit elementaren Konzepten wie Mengen, Relationen, Funktionen, Aussagen ist hilfreich.

Zeitrahmen: mehrere Sitzungen

Format: Schüler-Workshop mit Kurzvorlesungen und Gruppenübungen

 

Buchung Math-on-Demand

über

Betina Schubotz

logik(at)mathematik.tu-darmstadt.de

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