Forschungsinhalte

Die Arbeitsgruppe befasst sich mit Grundlagen und Anwendungen der Geometrie sowie mit Fragestellungen aus der Approximationstheorie.

Gegenstand der klassischen Differentialgeometrie sind Kurven und Flächen. In den Natur- und Ingenieurwissenschaften tauchen Flächen beispielsweise als Ober- oder Trennflächen auf. Solche Flächen sind oft optimal oder minimal: Im einfachsten Fall, vielleicht einer biologischen Zelle, beranden sie den Inhalt mit der geringst möglichen Oberfläche. Sie können aber auch komplizierte Funktionale minimieren, die beispielsweise Krümmungen enthalten; solche Variationsprobleme führen schnell auf partielle Differentialgleichungen.

Derartige Flächen werden auch in Darmstadt untersucht. Die Frage, ob und welche Lösungen es gibt, ist spannend -- es hat schon viele falsche Vermutungen in der Vergangenheit gegeben. Als Methoden werden partielle Differentialgleichungen und auch abstrakte Methoden der Differentialgeometrie (Riemannsche Mannigfaltigkeiten) eingesetzt.

Die Differentialgeometrie erlebt einen Aufschwung, der durch ihre vielen Anwendungen auf ganz andere mathematische Disziplinen verstärkt wird. Das derzeit prominenteste Beispiel ist die Poincare-Vermutung der Topologie, die sagt, dass eine 3-Mannigfaltigkeit mit den Homotopiegruppen der 3-Sphäre auch homöomorph zur 3-Sphäre ist. Dies ist eine der sieben Behauptungen, für deren Lösung das Clay-Institute eine Million Dollar ausgesetzt hat. Hierfür ist ein differentialgeometrischer Beweis vorgeschlagen worden, der eine Deformation der Mannigfaltigkeit nach ihrer Krümmung benutzt. Ob der Preis ausgezahlt wird, ist aber noch nicht klar.

Die Geometrische Datenverarbeitung befasst sich mit der Untersuchung von mathematischen Modellen zur Beschreibung geometrischer Objekte. Im Unterschied zur klassischen Geometrie hat man hier aber weniger elementare Dinge wie Kreise oder Zylinder im Auge, sondern vielmehr komplexe Strukturen aus unterschiedlichsten Anwendungsbereichen. Man denke beispielsweise an eine Autokarosserie, ein Abendkleid oder einen Dinosaurier aus Jurassic Parc. Neben den klassischen Splinekurven und -flächen, die aus polynomialen Stücken zusammengesetzt sind, stehen sogenannte Subdivisionsflächen im Mittelpunkt des Interesses. Diese entstehen, wenn polyedrische Netze (im einfachsten Fall ein Würfel) durch fortgesetztes Brechen der Kanten verfeinert und geglättet werden. Subdivisionsflächen lassen sich sehr effizient im Computer erzeugen und sind deshalb heute in der Computergrafik weit verbreitet. Die Forschungsergebnisse der letzten Jahre auf diesem Gebiet sind in der Monographie "Subdivision Surfaces" ( http://www.cise.ufl.edu/research/SurfLab/subdivision-surfaces/) zusammengefasst.

Splinefunktionnen besitzen ausgezeichnete Approximationeigenschaften. Diese sind wohlverstanden, wenn das Definitionsbegiet eine Box in R^n ist. Erhebliche Schwierigkeiten theoretischer und praktischer Natur ergeben sich allerdings, wenn beliebige Gebiete zugrunde gelegt werden. Mit der Definition der web-Splines (http://www.web-spline.de/) gelang hier ein erster Durchbruch, doch bleiben zahlreiche weiterführende Fragestellungen Gegenstand der aktuellen Forschung.

 

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